Алексей Цой окончил Sells College (Лондон), аспирантуру Казахстанской государственной медицинской академии, Южно-Казахстанскую государственную медицинскую академию, Институт международного права и международного бизнеса «Данекер», Высшую школу корпоративного управления Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ. Проходил стажировку в Стэндфордском университете (США), Сингапуре, Москве, Германии, Великобритании и др. Доктор делового администрирования, кандидат медицинских наук.
Трудовую деятельность начал в 2001 году врачом-эндоскопистом. В разные годы работал Генеральным секретарем в ОО «Евроазиатское респираторное общество», директором РГП «Центр внедрения современных медицинских технологий» УДП РК, начальником ГУ «Медицинский центр УДП РК», главным врачом Городской больница № 1 акимата г. Астаны, вице-министром здравоохранения и социального развития РК, министром здравоохранения РК.
